Sisällön pääryhmät Kulma, kolmio, monikulmio ja -tahokas Monitahokkaat [ 1 2 3 4 ] ESITIEDOT:  monikulmiot,  taso KATSO MYÖS:  geometriset probleemat

Kansisivu  Sisältö  Hakemisto

Todistus sille, että säännöllisiä monitahokkaita on vain viisi, on yllättävänkin yksinkertainen:

Koska säännöllisen monitahokkaan sivutahkot ovat samanlaisia säännöllisiä monikulmioita — olkoot n-kulmioita — on jokaisen kulman suuruus

(n - 2) ^. 180^o/n.

Koska kaikki kärjet ovat samanlaisia, yhtyy jokaisessa kärjessä sama määrä p sivutahkoja. Yhdessä kärjessä kohtaavien kulmien summan tulee olla pienempi kuin täysi kulma 360^o, jolloin saadaan epäyhtälö

p(n - 2) ^. 180^o/n < 360^o eli np < 2(n + p).

Toisaalta on tietenkin n > 3, p > 3.

Ne arvot n, p, jotka toteuttavat saadun epäyhtälön, on helppo luetella ja todeta, että jokaista kyseeseen tulevaa arvoparia todellakin vastaa jokin tunnettu säännöllinen monitahokas:

Koska muita epäyhtälön toteuttavia arvopareja ei ole, ei ole olemassa myöskään muita säännöllisiä monitahokkaita.

monikulmio  kulma (taso-)  epäyhtälö

Kivelä, niinkuin matematiikka, versio 1.12