Sisällön pääryhmät Käyrät ja pinnat Ympyrä [ 1 2 3 4 5 6 ] ESITIEDOT:  käyrä,  kulma,  piste,  suora KATSO MYÖS:  toisen asteen käyrät

Kansisivu  Sisältö  Hakemisto

Olkoon P annetun ympyrän ulkopuolinen piste. Asetetaan pisteen P kautta ympyrän sekantti, joka leikkaa ympyrää pisteissä A ja B. Pisteestä P asetettu ympyrän tangentti sivutkoon ympyrää pisteessä C.

Pisteen P potenssiksi ympyrän suhteen sanotaan janojen pituuksien tuloa |P A||P B|, mikä on riippumaton sekantin asemasta ja yhtä suuri kuin tangentilla olevan janan pituuden neliö |P C|².

Todistus ilmenee seuraavasta kuviosta, missä kolmiot P AC ja P CB ovat yhdenmuotoisia, koska niillä on yhteinen kulma pisteessä P ja toisaalta kulmat P AC ja P CB ovat yhtä suuria samaa kaarta BC vastaavina kehäkulmina. Kolmioiden sivujen verrannollisuudesta seuraa

= eli |P A||P B| = |P C|².

Jos piste P sijaitsee ympyrän sisällä, pätee vastaava. Jos pisteen kautta asetetaan sekantti, joka leikkaa ympyrää pisteissä A ja B, on tulo |P A||P B| riippumaton sekantin asemasta. Tätä kutsutaan ympyrän sisäpuolella olevan pisteen P potenssiksi ympyrän suhteen.

Tulos todistetaan jälleen yhdenmuotoisten kolmioiden avulla. Jos AB ja CD ovat pisteen P kautta kulkevia ympyrän jänteitä, ovat kolmiot AP D ja CP B yhdenmuotoisia ja

= eli |P A||P B| = |P C||P D|.

Tulo on siis riippumaton siitä, mikä pisteen P kautta kulkeva sekantti on kyseessä.

sekantti (suora)  tangentti (suora)  yhdenmuotoisuus (kolmioiden)

Kivelä, niinkuin matematiikka, versio 1.12