Sisällön pääryhmät Yhtälöt ja epäyhtälöt Epäyhtälöt [ 1 2 3 4 5 6 7 ] ESITIEDOT:  yhtälöt KATSO MYÖS:

Kansisivu  Sisältö  Hakemisto

Epäyhtälö

x³ - 2x² < x - 2

voidaan kirjoittaa x³ - 2x² - x + 2 < 0, jolloin joudutaan tutkimaan polynomifunktion f(x) = x³ - 2x² - x + 2 käyttäytymistä. Tämän nollakohdat ovat x₁ = -1, x₂ = 1 ja x₃ = 2. Koska polynomifunktio on kaikkialla jatkuva, ei muita merkinvaihtokohtia voi olla.

Piirtämällä kuvaaja, sijoittamalla funktioon nollakohtien välissä olevia arvoja tai polynomifunktioiden yleisten ominaisuuksien perusteella voidaan päätellä, että funktio saa negatiivisia arvoja, kun x < -1 ja 1 < x < 2. Epäyhtälön ratkaisu on siten x < -1 tai 1 < x < 2.

Toisena ratkaisuvaihtoehtona on jakaa alkuperäinen epäyhtälö aluksi tekijällä x - 2. Jos jakaja on positiivinen, ts. x > 2, päädytään epäyhtälöön x² < 1; jos x < 2, epäyhtälö on x² > 1.

Edellisessä tapauksessa olisi -1 < x < 1, mutta tämä ei täytä ehtoa x > 2, eikä ratkaisuja siis ole.

Jälkimmäisessä tapauksessa tulee olla x < -1 tai x > 1. Kun tämä yhdistetään rajoitukseen x < 2, saadaan x < -1 tai 1 < x < 2. Lisäksi epäyhtälö toteutuu yhtälönä, jos x = 2.

polynomifunktio  jatkuvuus  kuvaaja

Kivelä, niinkuin matematiikka, versio 1.12