Sisällön pääryhmät Yhtälöt ja epäyhtälöt Epäyhtälöt [ 1 2 3 4 5 6 7 ] ESITIEDOT:  yhtälöt KATSO MYÖS:

Kansisivu  Sisältö  Hakemisto

Murtoepäyhtälö

> 0

voidaan ratkaista tutkimalla erikseen osoittajan ja nimittäjän merkkejä.

Osoittajan nollakohdat ovat x₁ = 2 ja x₂ = 5. Kyseessä on toisen asteen polynomi, jonka kuvaaja on ylöspäin aukeava paraabeli. Nollakohtien välissä arvot ovat siis negatiivisia, ulkopuolella positiivisia.

Nimittäjän nollakohdat ovat vastaavasti x₃ = -3 ja x₄ = 3. Kuvaaja on alaspäin aukeava paraabeli, jolloin arvot nollakohtien välissä ovat positiivisia, ulkopuolella negatiivisia.

Osoittajan ja nimittäjän merkeistä saadaan seuraava kuvio:

Epäyhtälön ratkaisu on tällöin -3 < x < 2 tai 3 < x < 5. Yhtäsuuruus ei luonnollisestikaan saa olla mukana niissä pisteissä, jotka ovat nimittäjän nollakohtia.

Esimerkin epäyhtälö voidaan myös ratkaista kertomalla se puolittain nimittäjällä. Tällöin on otettava huomioon nimittäjän merkki. Koska nimittäjä on positiivinen alueessa -3 < x < 3, saadaan kertomisen jälkeen epäyhtälö x² - 7x + 10 > 0. Sen ratkaisuna on -3 < x < 2, kun otetaan huomioon rajoitus -3 < x < 3.

Alueessa x < -3 tai x > 3 kääntää nimittäjällä kertominen epäyhtälön erisuuruusmerkin ja saadaan x² - 7x + 10 < 0. Tämän ratkaisuna tarkasteltavana olevassa alueessa on 3 < x < 5.

Kaikkiaan päädytään siis samaan tulokseen kuin edellä.

polynomifunktio  kuvaaja  paraabeli (kartioleikkauksena)  paraabeli (xy-koordinaateissa)

Kivelä, niinkuin matematiikka, versio 1.12