Sisällön pääryhmät Potenssit ja polynomit Polynomit [ 1 2 3 4 ] ESITIEDOT:  summa ja tulo KATSO MYÖS:  potenssi,  polynomien tekijöihin jako,  polynomiyhtälöt,  binomi- ja multinomikertoimet,  reaalifunktiot

Kansisivu  Sisältö  Hakemisto

Reaalialueen polynomifunktion

p(x) = a_nxⁿ + a_n-1x^n-1 + ... + a₁x + a₀

kuvaajalla on eräitä sille luonteenomaisia piirteitä.

Jos polynomi on ensimmäistä astetta, sen kuvaaja on suora. Toisen asteen polynomin kuvaaja on paraabeli, joka aukeaa ylöspäin, jos toisen asteen termin kerroin on positiivinen, ja alaspäin, jos se on negatiivinen. Kolmannen asteen polynomin kuvaajaa kutsutaan usein kuutioparaabeliksi.

Yleisesti polynomifunktion kuvaajalla on seuraavat ominaisuudet:

Jos polynomi on parillista astetta ja korkeimman asteen termin kerroin a_n on positiivinen, käyrä katoaa äärettömyyteen positiivisen y-akselin suunnassa, kun argumentti x etääntyy origosta riittävän pitkälle; raja-arvojen avulla ilmaistuna: lim_x±p(x) = +. Jos a_n on negatiivinen, on vastaavasti lim_x±p(x) = -.

Jos polynomi on paritonta astetta ja a_n > 0, argumentin x kasvaessa kuvaaja tulee negatiivisen y-akselin suunnasta ja jollakin tavoin heilahdeltuaan katoaa positiivisen y-akselin suuntaan: lim_x-p(x) = -, lim_x+p(x) = +. Jos a_n < 0, raja-arvot kääntyvät toisinpäin. Kummassakin tapauksessa funktio saa kaikki reaaliarvot.

Funktion kuvaaja mutkittelee äärettömyyteen menojen välissä — jonkinlaisella keskialueella — siten, että suora voi leikata sitä enintään asteluvun osoittamassa määrässä pisteitä.

Viidennen ja neljännen asteen polynomien kuvaajat:

funktio  suora  suora (yhtälö)  paraabeli (kartioleikkauksena)  paraabeli (xy-koordinaateissa)  raja-arvo (funktion)

Kivelä, niinkuin matematiikka, versio 1.12