[#] Sisällön pääryhmät --> Lukujonon ja funktion raja-arvo --> Funktion raja-arvo [ 1 2 3 4 5 6 ]
ESITIEDOT: [#] reaalifunktiot
KATSO MYÖS: [#] lukujonon raja-arvo, [#] funktion jatkuvuus
[#] Kansisivu
[#] Sisältö
[#] Hakemisto

Toispuoliset raja-arvot; raja-arvo oo ja raja-arvo äärettömyydessä

Funktio saattaa käyttäytyä myös siten, että muuttujan x lähestyessä kohtaa a sen arvot lähestyvät eri arvoja riippuen siitä kummalta puolen x lähestyy arvoa a. Tällaisessa tilanteessa puhutaan funktion oikeanpuolisesta ja vasemmanpuolisesta raja-arvosta. Näitä merkitään

limx-->a+f(x) ja limx-->a-f(x),

jolloin luvun a perässä oleva plusmerkki tarkoittaa oikeanpuolista, miinusmerkki vasemmanpuolista lähestymistä.

Esimerkki tällaisesta funktiosta on arctan(1/x) origossa, jolle

limx-->0+ arctan(1/x) = p 2 ja limx-->0- arctan(1/x) = -p 2.

Funktion raja-arvoa voidaan tarkastella myös, kun muuttuja x lähestyy ääretöntä positiivisessa tai negatiivisessa suunnassa. Tällöin merkitään

limx-->- oo f(x) = b tai limx--> oo f(x) = b.

Missä tahansa rajaprosessissa funktion arvot voivat myös lähestyä positiivista tai negatiivista ääretöntä (jolloin raja-arvon ei sanota olevan olemassa, koska se ei ole (äärellinen) reaaliluku). Merkinnät ovat ilmeiset:

limx-->a-f(x) = oo , limx--> oo f(x) = - oo , jne.

  [#] arcus-funktio

Kivelä, M niinkuin matematiikka, versio 1.12