Sisällön pääryhmät Lukujonon ja funktion raja-arvo Funktion raja-arvo [ 1 2 3 4 5 6 ] ESITIEDOT:  reaalifunktiot KATSO MYÖS:  lukujonon raja-arvo,  funktion jatkuvuus

Kansisivu  Sisältö  Hakemisto

Seuraavista raja-arvoista kolme ensimmäistä muodostavat pohjan kyseessä olevien alkeisfunktioiden derivaattojen johtamiselle. Neljäs osoittaa, että eksponenttifunktio kasvaa nopeammin kuin mikä tahansa muuttujan potenssi.

limx0 = 1;

limx0 = 1;

limx0 = 1;

limx = , p luonnollinen luku.

Kolmannessa, siniä koskevassa kaavassa on argumentin oltava radiaaneissa. Raja-arvo voidaan tietenkin laskea myös siten, että x lausutaan asteissa; tällöin se ei kuitenkaan ole 1.

Ensimmäinen kaava johtaa siihen, että eksponenttifunktion derivaatta on se itse (ks. alkeisfunktioiden derivointia). Kaava puolestaan on seuraus Neperin luvun määritelmästä, kuten seuraava osoittaa.

Merkitsemällä t = 1/x saadaan

= t ln = ln ^t.

Jos x 0, niin t ±. Neperin luvun määritelmästä seuraa, että lim_t(1 + 1/t)^t = e; pieni lisäpäättely osoittaa, että näin on myös, jos t -. Eo. lausekkeen raja-arvo on siis ln e = 1, kun x 0, ja toinen kaava on todistettu.

Ensimmäinen kaava voidaan palauttaa tähän merkitsemällä y = e^x - 1 eli x = ln(1 + y), jolloin x 0, jos ja vain jos y 0. Tällöin

= -1.

Huomattakoon, että eo. päättelyissä nojaudutaan tietoon eksponentti- ja logaritmifunktioiden jatkuvuudesta: Esimerkiksi tiedosta (1 + 1/t)^t e seuraa ln[(1 + 1/t)^t] ln e vain, jos logaritmifunktio tiedetään jatkuvaksi pisteessä e.

Kolmannen ja neljännen kaavan johtoa ei tässä lähemmin käsitellä.

raja-arvo (standardi-, lukujonon)  derivointi (alkeisfunktioiden)  eksponenttifunktio  logaritmifunktio  potenssifunktio  sini  radiaani  aste  Neperin luku  jatkuvuus

Kivelä, niinkuin matematiikka, versio 1.12