Sisällön pääryhmät Lukujonon ja funktion raja-arvo Funktion raja-arvo [ 1 2 3 4 5 6 ] ESITIEDOT:  reaalifunktiot KATSO MYÖS:  lukujonon raja-arvo,  funktion jatkuvuus

Kansisivu  Sisältö  Hakemisto

Samantyyppinen tekniikka kuin lukujonojen raja-arvojen laskemisessa soveltuu usein myös funktioiden raja-arvoille. Raja-arvoista voi myös saada tietoa piirtämällä esimerkiksi laskimella tai tietokoneella funktioiden kuvaajia — pyöristysvirheiden aiheuttamia häiriöitä varoen.

1) Olkoon a > 0. Kun x a, saa seuraava lauseke muodon 0/0, jolloin sen raja-arvoa ei voida suoraan päätellä. Laventaminen sopivasti johtaa kuitenkin tulokseen:

= = - xa .

Laskun viimeisessä vaiheessa on käytetty tietoa neliöjuurifunktion jatkuvuudesta. 2) Funktio f(x) = x sin(1/x) on määritelty, kun x0. Koska sinifunktion arvot ovat argumentista riippumatta itseisarvoltaan < 1, on ilmeisestikin

0 < |x sin(1/x)| = |x|| sin(1/x)| < |x|.

Jos nyt x 0, puristuu funktion arvo nollan ja nollaa lähestyvän lausekkeen |x| väliin, jolloin tulee olla lim_x0x sin(1/x) = 0. (Kuva alempana.)

3) Funktiolla f(x) = sin(1/x) ei ole raja-arvoa origossa eikä edes eri suuria oikean- ja vasemmanpuolisia raja-arvoja. Kuten oheinen kuva näyttää, funktio heilahtelee sitä tiheämmin arvojen -1 ja 1 välillä, mitä lähempänä origoa ollaan.

raja-arvo (lukujonon)  kuvaaja  pyöristysvirhe  laventaminen  neliöjuurifunktio  jatkuvuus  sini

Kivelä, niinkuin matematiikka, versio 1.12