![]() ![]() ![]() ESITIEDOT: ![]() KATSO MYÖS: ![]() ![]() |
|
Samantyyppinen tekniikka kuin lukujonojen raja-arvojen laskemisessa soveltuu usein myös funktioiden raja-arvoille. Raja-arvoista voi myös saada tietoa piirtämällä esimerkiksi laskimella tai tietokoneella funktioiden kuvaajia — pyöristysvirheiden aiheuttamia häiriöitä varoen.
1) Olkoon a > 0. Kun x a, saa seuraava lauseke muodon 0/0, jolloin sen
raja-arvoa ei voida suoraan päätellä. Laventaminen sopivasti johtaa kuitenkin
tulokseen:
=
=
-
x
a
.
Laskun viimeisessä vaiheessa on käytetty tietoa neliöjuurifunktion jatkuvuudesta.
2) Funktio f(x) = x sin(1/x) on määritelty, kun x0. Koska sinifunktion arvot
ovat argumentista riippumatta itseisarvoltaan < 1, on ilmeisestikin
0 < |x sin(1/x)| = |x|| sin(1/x)| < |x|.
Jos nyt x 0, puristuu funktion arvo nollan ja nollaa lähestyvän lausekkeen |x|
väliin, jolloin tulee olla limx
0x sin(1/x) = 0. (Kuva alempana.)
3) Funktiolla f(x) = sin(1/x) ei ole raja-arvoa origossa eikä edes eri suuria oikean- ja vasemmanpuolisia raja-arvoja. Kuten oheinen kuva näyttää, funktio heilahtelee sitä tiheämmin arvojen -1 ja 1 välillä, mitä lähempänä origoa ollaan.
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
Kivelä, niinkuin matematiikka, versio 1.12