Sisällön pääryhmät Lukujonon ja funktion raja-arvo Funktion raja-arvo [ 1 2 3 4 5 6 ] ESITIEDOT:  reaalifunktiot KATSO MYÖS:  lukujonon raja-arvo,  funktion jatkuvuus

Kansisivu  Sisältö  Hakemisto

Funktioiden raja-arvojen ja lukujonojen raja-arvojen laskeminen on usein hyvin samantyyppistä. Pohjana ovat ’itsestään selvien’ (ts. määritelmän perusteella selvien) tulosten ohella summan, erotuksen, tulon ja osamäärän raja-arvoa koskevat lauseet ja tunnetut funktioiden ominaisuudet. Viimeksi mainittuja ovat mm. tiedot alkeisfunktioiden jatkuvuudesta ja edempänä mainitut standardiraja-arvot (jotka todistetaan suoraan määritelmään vedoten).

Samat varovaisuusvaatimukset ’itsestään selvyyksien’ osalta kuin lukujonojen raja-arvoja laskettaessa on tietenkin otettava huomioon.

Raja-arvon laskemisessa tarvitaan usein seuraavia kaavoja, joissa oletetaan, että funktioiden f ja g raja-arvot lim_xaf(x) ja lim_xag(x) ovat olemassa:

limxa(f(x) ± g(x)) = limxaf(x) ± limxag(x);

limxa(cf(x)) = c limxaf(x) (c vakio);

limxa(f(x)g(x)) = limxaf(x) .  limxag(x);

limxa = .

Osamäärää koskevassa kaavassa tulee luonnollisesti nimittäjien olla 0.

raja-arvo (lukujonon)  alkeisfunktio  jatkuvuus  raja-arvo (standardi-, funktion)

Kivelä, niinkuin matematiikka, versio 1.12