Sisällön pääryhmät Integraali Massakeskipiste [ 1 2 ] ESITIEDOT:  keskiarvo,  määrätty integraali KATSO MYÖS:  integroimistekniikkaa,  hitausmomentti

Kansisivu  Sisältö  Hakemisto

Olkoon tarkasteltavana puoliympyrän muotoinen homogeeninen levy, ts. levy jonka massatiheys on vakio. Geometrinen keskiö ja massakeskipiste ovat tällöin sama asia. Lasketaan tämän koordinaatit.

Sijoitetaan koordinaatisto siten, että origo yhtyy puoliympyrän keskipisteeseen ja levy sijaitsee x-akselin yläpuolella. Tällöin levyn reunoina ovat x-akseli ja ympyrän x² + y² = R² kaari, missä y > 0.

Symmetriasyistä keskiön x-koordinaatti on = 0.

Keskiön y-koordinaatin laskemiseksi levy jaetaan periaatteessa pikku neliöihin vastaten edellä käsiteltyjä pikku kuutioita, koska kyseessä on kaksiulotteinen kappale. Näistä voidaan kuitenkin yhdistää ne, joita vastaa sama y-arvo, jolloin levy tulee jaetuksi x-akselin suuntaisiin pitkiin ja kapeisiin suorakulmioihin, joiden sivut ovat y_k ja 2.

y-koordinaattien keskiarvoa approksimoidaan nyt painotettuna keskiarvona, jossa painoina ovat tällaisten suorakulmioiden alat:

.

Jaon tihentäminen, so. suorakulmioiden kaventaminen ja lukumäärän lisääminen johtaa sekä osoittajassa että nimittäjässä määrättyyn integraaliin. Nimittäjän integraali esittää puoliympyrän alaa ja on siis = R². Keskiön y-koordinaatiksi saadaan

		Y0 = 2y dy = - (R2 - y2)3/2
		= 0.42R .

ympyrä  koordinaatisto (xy-)  keskiarvo (painotettu)  määrätty integraali  integrointi (kaavat)  integrointi (kaavat)  integrointi (sijoitus)  integrointi (osittais-)

Kivelä, niinkuin matematiikka, versio 1.12