Sisällön pääryhmät Käyrät ja pinnat Pinta [ 1 2 ] ESITIEDOT:  funktiokäsite,  reaalifunktiot,  yhtälöt,  koordinaatistot,  piste KATSO MYÖS:  taso,  käyrä

Kansisivu  Sisältö  Hakemisto

Kuten käyrän myös pinnan täsmällinen määrittely on vaikea tehtävä. Seuraavassa esitetään ainoastaan eri mahdollisuudet luonnehtia kolmiulotteisen avaruuden pinta paneutumatta tarkemmin esiintyviltä funktioilta vaadittaviin säännöllisyysominaisuuksiin.

1. Ne kolmiulotteisen avaruuden pisteet, joiden suorakulmaiset koordinaatit x, y ja z toteuttavat yhtälön z = f(x, y), muodostavat pinnan. Tällöin siis xy-tason pistettä (x, y) vastaten lasketaan arvo z, joka ilmoittaa tämän pisteen kohdalla (xy-tason ylä- tai alapuolella) olevan pinnan pisteen korkeuden. Esimerkiksi z = xy ja z = x² - y² ovat satulapintoja.
2. Muotoa F (x, y, z) = 0 oleva yhtälö määrittää usein pinnan. Pinnan muodostavat ne pisteet, joiden koordinaatit (x, y, z) toteuttavat yhtälön. Esimerkiksi x² + y² + z² - 1 = 0 on origokeskinen pallopinta, x + y + z - 1 = 0 on taso. Muotoa F (x, y, z) = 0 oleva yhtälö ei välttämättä toteudu ainoallakaan arvokolmikolla (x, y, z). Tällöin se ei geometrisesti esitä mitään. Esimerkiksi sopii x²+e^y+cosh z = 0. Yhtälö voi esittää myös pistettä: (x-1)²+(y-2)²+(z-3)² = 0 on piste (1, 2, 3). Myös suora on mahdollinen: Yhtälö (x+y+z+1)²+(x+2y+3z+4)² = 0 toteutuu vain, jos x + y + z + 1 = 0 ja x + 2y + 3z + 4 = 0, ts. kyseessä on näiden yhtälöiden määrittämien tasojen leikkaussuora.
3. Kolmiulotteisen avaruuden pintojen käsittely on yleensä helpointa parametriesityksen avulla. Tällöin tarvitaan kaksi parametria:

   r(u, v) = x(u, v) i + y(u, v) j + z(u, v) k,

   missä parametrit u ja v saavat arvot jostakin uv-tason alueesta. Jokaista parametriparia (u, v) vastaa siten paikkavektori r(u, v), ts. pinnan piste (x(u, v), y(u, v), z(u, v)). Esimerkkejä edempänä.

käyrä (taso-)  käyrä (avaruus-)  koordinaatisto (xyz-)  satulapinta  pallo  taso (yhtälö)  eksponenttifunktio  hyperbelikosini  suora (kolmiulotteinen)  paikkavektori

Kivelä, niinkuin matematiikka, versio 1.12