Vakiokertoiminen epähomogeeninen yhtälö

Kertalukua n oleva lineaarinen vakiokertoiminen epähomogeeninen differentiaaliyhtälö on

y⁽ⁿ⁾ + a_n-1y^(n-1) + . . . + a₁y' + a₀y = R(x),

missä kertoimet a_k ovat vakioita. Oikeanpuolen funktio R(x) voi olla millainen tahansa.

Yleisen teorian mukaan epähomogeenisen yhtälön yleinen ratkaisu saadaan summana vastaavan homogeeniyhtälön yleisestä ratkaisusta ja epähomogeeniyhtälön jostakin yksittäisratkaisusta. Viimeksi mainittu voidaan hakea esimerkiksi vakioiden varioinnilla.

Jos kuitenkin kyseessä on vakiokertoiminen yhtälö ja funktio R(x) on sopivaa tyyppiä, voidaan yksittäisratkaisu hakea helpommin yritettä käyttäen.

Millainen yrite on syytä valita vastaamaan tietyntyyppistä funktiota R(x), ilmenee seuraavasta taulukosta. Symbolit A, B, A_k ovat yritteen parametreja, jotka on määrättävä siten, että yrite toteuttaa yhtälön; , , ja n ovat funktion R(x) lausekkeessa olevia vakioita.

R(x)	yrite
ex	Aex
	Axex,	jos ex on homogeeniyhtälön ratkaisu
	Ax2ex,	jos myös xex on homogeeniyhtälön ratkaisu
	etc.
	A sin x + B cos x
	Ax sin x + Bx cos x,	jos sin x ja cos x ovat homog.yht. ratkaisuja
	etc.
polynomi astetta n	polynomi astetta n,
	ts. Akxk
	polynomi astetta n + 1,	jos homog.yht. ratkaisuna on vakio
	polynomi astetta n + 2,	jos homog.yht. ratkaisuna on 1. asteen polynomi
	etc.

Kutakin funktion R(x) muotoa vastaten on ensimmäisellä rivillä normaalisti sovellettava yritteen muoto. Jos kuitenkin tämänmuotoinen lauseke sattuu olemaan homogeeniyhtälön ratkaisu, ei se voi toteuttaa epähomogeeniyhtälöä millään parametrien valinnalla. Polynomin tapauksessa näin käy, jos karakteristisella yhtälöllä on juurena r = 0, eksponenttifunktion tapauksessa, jos juurena on r = , ja sini-kosini-tapauksessa, jos juurina ovat r = ±i. Näissä tapauksissa on yritteeseen lisättävä kertoimeksi x. Jos juuret ovat kaksinkertaisia, otetaan kertoimeksi x² jne.

Taulukkoa voisi jatkaakin, mutta esitetyt tapaukset ovat tärkeimmät. Ne tulevat esiin erilaisissa sovelluksissa, mm. värähtelyprobleemoissa.

Että em. yritteet toimivat, ei ole itsestään selvää. Suorilla laskuilla voidaan kuitenkin osoittaa, että näin on.