[#] Sisällön pääryhmät --> Derivaatta --> Derivaatta [ 1 2 3 4 5 6 ]
ESITIEDOT: [#] reaalifunktiot, [#] funktion raja-arvo
KATSO MYÖS: [#] derivointisäännöt, [#] alkeisfunktioiden derivaatat
[#] Kansisivu
[#] Sisältö
[#] Hakemisto

Esimerkkejä derivaatan laskemisesta erotusosamäärän raja-arvona

Funktion f(x) = x5 derivaatta pisteessä x saadaan kehittämällä erotusosamäärä binomikaavan avulla:

(x-+-h)5---x5 h = x5-+-5x4h-+--10x3h2-+-10x2h3-+-5xh4--+-h5---x5 h
= 5x4 + 10x3h + 10x2h2 + 5xh3 + h4.

Kun h --> 0, lähestyvät kaikki muut termit nollaa paitsi ensimmäinen ja derivaataksi saadaan siis 5x4. Funktion f(x) = V~ - x derivaatta pisteessä x > 0 saadaan vastaavalla tavalla muokkaamalla erotusosamäärää siten, että sen raja-arvo voidaan laskea:

V~ x-+-h-- V~ x- -------------- h = ( V~ x-+-h-- V~ h)( V~ x-+-h-+ V~ h) --------- V~ -------- V~ --------- h( x + h + x)
= ---x-+-h---x----- h( V~ x-+-h-+ V~ x) = ------1------- V~ x-+-h-+ V~ x- ---> h-->0 -1--- 2 V~ x-.

  [#] binomikaava
 [#] binomikaava
 [#] raja-arvo (funktion)

Kivelä, M niinkuin matematiikka, versio 1.12