[#] Sisällön pääryhmät --> Funktio --> Funktiokäsite [ 1 2 3 4 5 6 ]
ESITIEDOT:
KATSO MYÖS: [#] reaalifunktiot, [#] joukko-oppi
[#] Kansisivu
[#] Sisältö
[#] Hakemisto


Esimerkkejä funktioista

1) Olkoon A kaikkien Suomen kansalaisten joukko ja B sellaisten 11 merkin jonojen joukko, jotka ovat muodollisesti oikeita henkilötunnuksia. Sääntö, joka jokaiseen Suomen kansalaiseen liittää hänen henkilötunnuksensa, on funktio.

2) Olkoon A = B = R (reaalilukujoukko). Funktio f : A --> B voidaan määritellä asettamalla f(x) = x2, jolloin jokaiseen reaalilukuun x liitetään sen neliö.

3) Olkoon A reaalilukujoukko kuten edellä, mutta B ei-negatiivisten reaalilukujen joukko (merkitään usein B = R+). Funktio f : A --> B määritellään samoin kuin edellä: f(x) = x2. Vaikka sääntö onkin sama, pidetään tätä eri funktiona kuin edellisessä kohdassa, koska maalijoukko on valittu eri tavoin.

4) Olkoon A = B = N (luonnollisten lukujen joukko). Funktio f : A --> B voidaan määritellä myös seuraavasti:

f(1) = 1,
f(2) = 1,
f(n) = f(n - 1) + f(n - 2), kun n > 3.

Määrittelyä kutsutaan rekursiiviseksi, koska esimerkiksi f(5) on määritelty arvojen f(4) ja f(3) avulla ja nämä on edelleen palautettava arvoihin f(2) ja f(1). (Funktion f arvoja kutsutaan Fibonacci’n luvuiksi.)

5) Olkoon lähtöjoukkona xy-taso, ts. reaalilukuparien joukko. Tällöin merkitään A = R2. Maalijoukko olkoon B = R. Määritellään funktio f : A --> B, joka jokaiseen xy-tason pisteeseen liittää erään lukuarvon: f(x, y) = x2 - y2. Tämä on esimerkki kahden muuttujan funktiosta.

6) Vastaavaan tapaan voidaan määritellä usean muuttujan funktio f : Rn --> R asettamalla vaikkapa f(x1, x2, . . . , xn) = x2
1 + x2
2 + . . . + x2
n. Tässä on n > 1.

7) Olkoon A = R ja olkoon B kolmiulotteisten vektoreiden joukko. Yhtälö

r(t) = cos t i + sin t j + t k

määrittelee tällöin vektoriarvoisen funktion r : A --> B. Funktion voidaan katsoa esittävän ruuviviivaksi kutsuttua avaruuskäyrää.

  [#] joukko
[#] reaaliluku
[#] luonnollinen luku
[#] rekursiivisesti määritelty lukujono
[#] koordinaatisto (xy-)
[#] vektori
[#] ruuviviiva
[#] käyrä (avaruus-)

Kivelä, M niinkuin matematiikka, versio 1.12