Sisällön pääryhmät Tangentti ja normaali, geometriset kuvaukset Geometriset kuvaukset [ 1 2 3 4 5 6 7 ] ESITIEDOT:  funktiokäsite,  piste,  koordinaatistot KATSO MYÖS:  tangentti ja normaali,  kompleksiluvut

Kansisivu  Sisältö  Hakemisto

Sellaiset tason kuvaukset itseensä, joiden lausekkeet ovat ns. epälineaarista tyyppiä, saattavat johtaa varsin mutkikkaisiin kuvioihin. Näitä kutsutaan usein fraktaaleiksi. Tunnettu esimerkki on Mandelbrotin joukko. Kuvaus F , joka synnyttää Mandelbrotin joukon, esitetään yleensä kompleksilukujen avulla: w = F (z) = z² + c, missä c, z ja w ovat kompleksilukuja. Ajattelemalla kompleksiluvut z ja w tason pisteiksi se voidaan kuitenkin tulkita kuvaukseksi tasosta tasoon.

Itse asiassa jos z = x + iy, w = x' + iy' ja c = a + ib, niin yhtälö w = F (z) voidaan hajottaa reaali- ja imaginaariosaan:

Tässä on siis kyse kuvauksesta, jossa pisteen (x, y) kuvapiste (x', y') lasketaan eo. kaavoilla.

Mandelbrotin joukko määritellään seuraavasti:

Muodostetaan jono tason pisteitä siten, että seuraava piste z_n+1 eli (x_n+1, y_n+1) lasketaan aina edellisen pisteen z_n eli (x_n, y_n) avulla:

z_n+1 = F (z_n) = z + c eli

Aloituspisteenä on origo z₀ = 0 eli (x₀, y₀) = (0, 0) ja ensin lasketaan piste z₁, ts. (x₁, y₁) soveltamalla edellä olevia kaavoja arvolla n = 0. Seuraava piste z₂ eli (x₂, y₂) saadaan tämän jälkeen asettamalla n = 1, jolloin kaavojen oikealle puolelle sijoitetaan z₁ eli (x₁, y₁). Näin jatketaan.

Pistejonon käyttäytyminen riippuu kompleksiluvusta (pisteestä) c eli (a, b). Jos jono karkaa äärettömyyteen, tämä piste ei kuulu Mandelbrotin joukkoon. Jos pistejono sen sijaan pysyy rajoitetulla alueella (itse asiassa origokeskisessä ympyrässä, jonka säde on = 2), piste (a, b) kuuluu Mandelbrotin joukkoon.

Tuloksena on varsinkin reunoiltaan häkellyttävän monimutkainen kuvio. Mistään säännöllisestä reunakäyrästä ei voida puhua. Kuviota suurennettaessa havaitaan, että samat (tai samankaltaiset) yksityiskohdat kertautuvat yhä pienemmässä mittakaavassa. Kuvio seuraavassa.

kuvaus  joukko  kompleksiluku  kompleksitaso  käyrä (taso-)

Kivelä, niinkuin matematiikka, versio 1.12