[#] Sisällön pääryhmät --> Luvut --> Kompleksiluvut [ 1 2 3 4 5 6 ]
ESITIEDOT: [#] reaaliluvut
KATSO MYÖS: [#] polynomien tekijöihin jako, [#] vektori
[#] Kansisivu
[#] Sisältö
[#] Hakemisto

Kompleksiluvun napakulma

Kompleksiluvun z = x + iy napakulma eli argumentti f on pisteen (x, y) suuntakulma positiiviseen x-akseliin nähden; tämä valitaan yleensä väliltä ] - p, p].

Koska napakoordinaateille pätee trigonometristen funktioiden määritelmien mukaan x = r cos f, y = r sin f, missä r = V~ x2-+-y2- = |z|, saadaan kompleksiluvulle napakoordinaattiesitys

z = x + yi = |z|(cos f + i sin f).

Tämän avulla voidaan myös kompleksilukujen kertolasku luonnehtia geometrisesti:

Olkoon kerrottavana kompleksiluvut

z1 = |z1|(cos f1 + i sin f1), z2 = |z2|(cos f2 + i sin f2).

Näiden tulo on

z1z2 = |z1||z2| [(cos f1 cos f2 - sin f1 sin f2)
      +i(cos f1 sin f2 + sin f1 cos f2)]
= |z1||z2| [cos(f1 + f2) + i sin(f1 + f2)],

missä on käytetty sinin ja kosinin yhteenlaskukaavoja. Tulos on muodoltaan napakoordinaattiesitys, jolloin voidaan päätellä, että lukujen tulo on kompleksiluku, jonka itseisarvo saadaan tekijöiden itseisarvojen tulona ja napakulma tekijöiden napakulmien summana.

  [#] suuntakulma (suoran)
 [#] väli (reaaliakselin)
 [#] napakoordinaatit (kompleksitason)
 [#] napakoordinaatit (tason)
 [#] trigonometrinen funktio (yleinen määritelmä)
 [#] trigonometria (peruskaavat)

Kivelä, M niinkuin matematiikka, versio 1.12