Sisällön pääryhmät Luvut Reaaliluvut [ 1 2 3 4 5 6 7 ] ESITIEDOT: KATSO MYÖS:  murtoluvut,  lukujärjestelmät,  kompleksiluvut

Kansisivu  Sisältö  Hakemisto

Jokaiselle irrationaaliluvulle voidaan löytää miten tarkka rationaalinen approksimaatio tahansa: Jos approksimaatiovirhe ei saa olla suurempi kuin 10^-n, otetaan irrationaaliluvun approksimaatioksi päättyvä desimaaliluku, jossa on irrationaaliluvun desimaaliesityksen n ensimmäistä desimaalia.

Rationaali- ja irrationaaliluvuilla on seuraava tiheysominaisuus: Miten lyhyellä lukusuoran välillä tahansa on aina sekä rationaali- että irrationaalilukuja. Nämä ovat jopa helposti konstruoitavissa:

Olkoon tarkasteltavana reaaliakselin väli [a, b], missä yksinkertaisuuden vuoksi oletetaan 0 < a < b. Tällöin on olemassa luonnollinen luku n siten, että 1/n < b - a. Koska 1/n0, saadaan miten suuria rationaalilukuja tahansa kertomalla 1/n sopivalla luonnollisella luvulla. Olkoon erityisesti p pienin luonnollinen luku, jolla p/n > a. Tällöin p/n on välillä [a, b] ja väliltä on siis löytynyt rationaaliluku.

Väliltä [a, b] löydetään myös irrationaaliluku muodostamalla ensin eo. konstruktiolla rationaaliluvut r ja s siten, että a < r < s < b. Luku r + (s - r)/ on tällöin etsitty irrationaaliluku: se sijaitsee välillä [r, s] ja on irrationaalinen, koska on irrationaalinen.

väli (reaaliakselin)

Kivelä, niinkuin matematiikka, versio 1.12