Matemaattisia demonstraatioita

Kunkin demonstraation kohdalla ilmoitetaan sen tyyppi ja (tärkein) ohjelmisto, jolla se on laadittu. Ohjelmistoa ei yleensä tarvita demonstraatiota käytettäessä. Tyypit:

• applet: Java-sovelma, toimii selaimessa.
• nbp, cdf: toiminnallinen demonstraatio, tarvitaan Mathematica tai ilmainen CDF Player joko erilliseksi ohjelmaksi tai selaimen lisäosaksi.
• nb: Mathematica-muistikirja (notebook), voidaan lukea CDF Playerilla, mutta uudelleen laskemiseen tarvitaan Mathematica.
• mws: Maple-työarkki (worksheet), tarvitaan Maple.

Useista demonstraatioista on käytettävissä myös staattinen pdf-muoto, GeoGebra-demonstraatioista ggb-tiedosto.

Demonstraatioihin sovelletaan alla mainittua lisenssiä. © Simo K. Kivelä, ellei linkin yhteydessä toisin mainita.
Tämän teoksen käyttöoikeutta koskee Creative Commons Nimeä-JaaSamoin 3.0 Muokkaamaton -lisenssi.

Alkeisanalyysi

• Potenssifunktion kuvaaja, applet/LiveGraphics3D, 2005.
  Potenssifunktion $x^k$ kuvaaja, eksponenttia $k$ voidaan säätää.
  
  
• Polynomin kuvaaja, applet/LiveGraphics3D, 2005.
  Enintään neljännen asteen polynomin kuvaaja, kertoimia voidaan säätää.
  
  
• Interpolaatiopolynomi, cdf/Mathematica, marraskuu 2007.
  Annetun pisteistön kautta kulkeva polynomikäyrä. Pisteistöä ja polynomin astetta voidaan muuttaa.
  
  
• Trigonometristen funktioiden määrittely, nbp/Mathematica, tammikuu 2010.
  Sinin, tangentin ja kosekantin määrittely geometrisella konstruktiolla. pdf.
  
  
• Eksponenttifunktio ja logaritmifunktio, nbp/Mathematica, elokuu 2009.
  Funktioiden kuvaajat kantaluvun muuttuessa. pdf.
  
  
• Jatkuvuus, nbp/Mathematica, helmikuu 2009.
  Reaalimuuttujan reaaliarvoisen funktion jatkuvuus εδ-pelinä. Liukusäätimillä valitaan ε ja δ; liikennevalo muuttuu punaisesta vihreäksi, kun on löydetty epsiloniin sopiva delta. Muutama valmiiksi määritelty funktio, jotkut epäjatkuvia. pdf.
  
  
• Jatkuvuus, applet/GeoGebra, lokakuu 2009.
  Reaalimuuttujan reaaliarvoisen funktion jatkuvuus εδ-pelinä. Liukusäätimillä valitaan ε ja δ; liikennevalo muuttuu punaisesta vihreäksi, kun on löydetty epsiloniin sopiva delta. Muutama valmiiksi määritelty funktio, jotkut epäjatkuvia. ggb.
  
  
• Derivaatta, nbp/Mathematica, marraskuu 2007.
  Derivaatan määrittely erotusosamäärän raja-arvona. Erotusosamäärän parametria $h$ voidaan muuttaa, jolloin lukuarvo ja graafinen esitys muuttuvat vastaavasti. Tarkastelupistettä voidaan vaihtaa ja funktio valita muutamista valmiiksi määritellyistä. pdf.
  
  

Geometria

• Napoleonin lause, applet/GeoGebra, huhtikuu 2010.
  Kolmioita koskeva tasogeometrian lause, joka ei ole ilmeinen. Muunneltava konstruktio ja vihjeet todistamiseen. ggb.
  
  
• Miquelin lause, applet/GeoGebra, syyskuu 2013.
  Kolmioita ja ympyröitä koskeva tasogeometrian lause, joka on todistettavissa euklidisen geometrian tärkeimpien lauseiden avulla. Muunneltava konstruktio. ggb.
  
  
• Janan ja pinta-alan jakosuhde, applet/GeoGebra, huhtikuu 2010.
  Hieman hankalampi euklidisen geometrian tehtävä, joka on peräisin Jacques Hadamardin geometrian luennoista. ggb.
  
  
• Ruprecht von der Pfalzin probleema, applet/GeoGebra, huhtikuu 2011.
  Voidaanko kuutioon työstää reikä, josta toinen samankokoinen kuutio voidaan työntää läpi? ggb.
  Aihetta käsittelevä artikkeli Problem of Prince Rupert of the Rhine, marraskuu 2014.
  
  
• Heiluritasomenetelmä, applet/GeoGebra, huhtikuu 2011.
  Kahden kartion leikkauskäyrä voidaan aksonometrisessa kuvassa määrittää pisteittäin ns. heiluritasomenetelmällä. Kyseessä on deskriptiivisessä geometriassa paljon käytetty menetelmä. ggb.
  
  
• Ympyrän piirtäminen harpilla, applet/GeoGebra, huhtikuu 2010.
  Kun on annettuna ympyrän keskipiste ja säteen pituinen jana, ei ole aivan yksinkertaista piirtää ympyrää, jos sädettä ei saa siirtää harpin kärkien välissä. Tehtävä on kuitenkin mahdollinen. ggb.
  
  
• Kulman jako kolmeen yhtä suureen osaan, applet/GeoGebra, huhtikuu 2010.
  Klassisen ongelman geometrinen ratkaisu, joka ei kuitenkaan — luonnollisestikaan — täytä oikeaoppisen euklidisen geometrian vaatimuksia. ggb.
  
  
• Dodekaedrin rakentuminen, 2005, 2012.
  Dodekaedrin vaiheittainen konstruktio käyttäjän hallitsemana. Mathematicalla luotuja gif-kuvia hallitaan Javascriptilla.
  
  
• Ikosaedrin rakentuminen, 2005.
  Ikosaedrin vaiheittainen konstruktio. Mathematicalla luodut pdf-kuvat on LaTeXin pdfanim-lisäpaketilla upotettu LaTeXilla tehtyyn pdf-dokumenttiin.
  © Ossi Mauno
  
  
• Bézier'n käyrä (tasokäyrä), Bézier'n pinta (pinta kolmiulotteisessa avaruudessa), B-splini (tasokäyrä), cdf/Mathematica, joulukuu 2014.
  Käyrän ja pinnan muodon säätäminen ohjauspisteiden avulla. Bézier'n käyrien ja pintojen parametriesitykset ovat kolmannen asteen polynomeja, B-splinien parametriesitykset paloittain kolmannen asteen polynomeja.
  
  
• Neliulotteinen kuutio, nbp/Mathematica, heinäkuu 2009.
  Projisiointi kolmiulotteiseen avaruuteen ja tästä kaksiulotteiseen tasoon (näyttöön). Katselusuuntaa neliulotteisessa avaruudessa, ts. projisiointisuuntaa voidaan muuttaa säätimillä. pdf.
  
  
• Hyperbolista geometriaa, applet/GeoGebra, huhtikuu 2010.
  Poincarén ympyrämalli hyperboliselle geometrialle. Suoran piirtäminen, kun kaksi pistettä on annettu. ggb.
  
  
• Penrose-laatoitus, applet/Java, 2001.
  Kokoa oma laatoituksesi: peli 1, peli 2.
  © Mika Spåra
  
  

Käyrät ja pinnat

• Ellipsi määritelmän mukaan, applet/Cabri, 2004.
  Ellipsin piirtäminen niiden pisteiden joukkona, joilla polttopisteistä mitattujen etäisyyksien summa on vakio. Muunneltava kuvio.
  
  
• Ellipsin sisään ja ympäri piirretyt ympyrät, applet/Cabri, 2004.
  Ellipsin piirtäminen sisään ja ympäri piirrettyjä ympyröitä leikkaavan säteen avulla. Muunneltava kuvio.
  
  
• Ellipsin tangentit, applet/Cabri, 2004.
  Ellipsin piirtäminen tangenttien avulla. Muunneltava kuvio.
  
  
• Ellipsin kaarevuusympyrät, applet/Cabri, 2004.
  Ellipsin piirtäminen akseleiden päihin asetettujen kaarevuusympyröiden avulla. Muunneltava kuvio.
  
  
• Sykloidi, cdf/Mathematica, marraskuu 2007.
  Sykloidi (suoraa pitkin etenevä), muunneltava kuvio.
  
  
• Episykloidi ja hyposykloidi, cdf/Mathematica, marraskuu 2007.
  Episykloidi ja hyposykloidi (ympyrään tukeutuva), muunneltava kuvio.
  
  
• Ruuvipinta ja katenoidi, cdf/Mathematica, lokakuu 2012.
  Ruuvipinta ja katenoidi toistensa taivutuspintoina. Muunneltava kuvio.
  
  

Differentiaaliyhtälöt

• Planeettaliike, nbp/Mathematica, heinäkuu 2010.
  Hieman idealisoitu kahden planeetan liike keskeisvoimakentässä. Mahdollisuus säätää planeettojen massoja ja alkuehtoja, jolloin kahdessa erillisessä grafiikassa esitetyt radat ja liike-energiat muuttuvat vastaavasti. pdf.
  
  
• Värähtelyliike, nbp/Mathematica, heinäkuu 2010.
  Kierrejousesta riippuva kappale värähtelee pystysuorassa suunnassa. Mahdollisuus säätää jousen jäykkyyttä, vaimennusta ja ulkoista jaksollista voimaa. Kolme graafista esitystä: kappaleen poikkeama ajan funktiona, systeemin kokonaisenergia ja värähtelyliikkeen animaatio. pdf.
  
  
• DelTa-paketin sovellukset, nb/Mathematica, mws/Maple, 2000–2001.
  Pääasiassa fysikaalisia, mutta myös geometrisia ym. esimerkkejä, jotka perustuvat differentiaaliyhtälömalleihin. Mathematica- ja Maple-dokumentteja, jotka eivät aina ole ohjelmistojen viimeisten versioiden mukaisia. Saatavissa toimiviksi kuitenkin melko vähäisillä muutoksilla. Myös pdf.
  © Simo K. Kivelä, Jukka Paatero, Mika Spåra
  
  

Kompleksianalyysi

• Kompleksilukujen yhteen- ja kertolasku, applet/GeoGebra, huhtikuu 2010.
  Laskutoimitusten geometrinen määrittely. Vähennys- ja jakolaskun graafinen suorittaminen. ggb.
  
  
• Kompleksiluvun juuret, nbp/Mathematica, heinäkuu 2009.
  Kompleksiluvun $z$ juurella $\sqrt[n]{z}$ on $n$ eri suurta arvoa, kun $z \neq 0$. Näiden sijaintia voidaan tutkia siirtämällä lukua $z$ hiirellä. pdf.
  
  
• Algebran peruslause, nbp/Mathematica, elokuu 2009.
  Origokeskisen ympyrän kuvautumiseen perustuvan todistuksen idea. pdf.
  
  
• Algebran peruslause, applet/GeoGebra, toukokuu 2014.
  Origokeskisen ympyrän kuvautumiseen perustuvan todistuksen idea, sama kuin edellä, mutta eri ohjelmalla. ggb.
  
  
• Algebran peruslause, nbp/Mathematica, heinäkuu 2009.
  Polynomin reaali- ja imaginaariosien nollakohtakäyrät ja todistuksen perustaminen näihin. pdf.
  
  
• Newtonin iteraation kaoottisuus, nbp/Mathematica, elokuu 2009.
  Kompleksitasossa Newtonin iteraatio suppenee melkein mistä tahansa pisteestä aloitettaessa, mutta rajapiste ja tarkentuvat approksimaatiot käyttäytyvät kaoottisesti. pdf.
  
  
• Kuvaajia neliulotteisessa avaruudessa, applet/LiveGraphics3D, 2006.
  Kompleksifunktioiden $f: \mathbb{C} \to \mathbb{C}$ ja reaalifunktioiden $f: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2$ sijaitsevat neliulotteisessa avaruudessa $\mathbb{R}^2$. Nämä voidaan projisioida yhdensuuntaisprojektiolla kolmiulotteiseen avaruuden ja tuloksesta muodostaa tavanomainen kaksiulotteinen kuva näytölle. Sama voidaan tehdä neliulotteisen avaruuden pinnoille. Projisiointisuuntaa voidaan muuttaa kuvan vieressä olevilla säätimillä (punainen piste). Neliulotteisen avaruuden koordinaattiakselit on esitetty eri väreillä: punainen, vihreä, sininen, keltainen.
  Asiaa käsittelevä artikkeli ja Mathematica Journalissa ilmestynyt teknisempi versio, sekä esimerkkejä:
  $z^2$,    $z^3$,    $1/z$,    $e^z$,    $\sin z$,    $\tan z$,    $\log z$,    $\sqrt{1-z^2}$,    $f(x,y) = (\dfrac{x^3}{3}+xy, x+y)$,    Kleinin pullo,    Litteä torus.
  
  

Algebra ja lukuteoria

• Luonnolliset luvut, nb/Mathematica, huhtikuu 2003.
  Luonnollisten lukujen laskutoimitusten määrittely Peanon aksioomien pohjalta Mathematicaa käyttäen. pdf.
  
  
• Kompleksilukujen kunta, nb/Mathematica, huhtikuu 2005.
  Kompleksilukujen kunnan konstruointi joukkoon $\mathbb{R}^2$ Mathematicaa käyttäen. pdf.
  
  
• RSA-salakirjoitus, nb/Mathematica, tammikuu 2005.
  Yksinkertaiset työkalut RSA-salakirjoituksen tekemiseen ja avaamiseen. pdf. Myös algoritmin pätevyyden todistus.