Sisällön pääryhmät Integraali Pinta-alojen ja tilavuuksien laskeminen [ 1 2 3 4 5 6 ] ESITIEDOT:  määrätty integraali KATSO MYÖS:  integroimistekniikkaa,  pinta-aloja ja tilavuuksia

Kansisivu  Sisältö  Hakemisto

Olkoon tarkasteltavana kappale, jonka läpi x-akseli kulkee. Jaetaan tämä ohuisiin viipaleisiin x-akselia vastaan kohtisuorilla tasoilla. Olkoon kappaleen tasoleikkauksen pinta-ala A(v_j), kun leikkaava taso on kohdassa x = v_j. Jos tässä kohdassa olevan viipaleen paksuus on x_j, on viipaleen tilavuus A(v_j)x_j. Koko kappaleen tilavuutta approksimoi Riemannin summa A(v_j)x_j, missä summeeraus ulotetaan kaikkiin viipaleisiin. Viipaleita ohennettaessa tämä johtaa kappaleen tilavuutta esittävään määrättyyn integraaliin

A(x) dx,

missä x₁ ja x₂ ovat kappaleen äärimmäisten pisteiden x-koordinaatit.

Yleensä x-akseli mielletään vaakasuoraksi. Edellä olevassa tarkastelussa akselin ei välttämättä tarvitse olla vaakasuora, vaan aivan yhtä hyvin kelpaa minkä suuntainen akseli tahansa, kunhan akselia vastaan kohtisuorien tasoleikkausten pinta-ala on laskettavissa.

Riemannin summa  määrätty integraali

Kivelä, niinkuin matematiikka, versio 1.12