Sisällön pääryhmät Integraali Pinta-alojen ja tilavuuksien laskeminen [ 1 2 3 4 5 6 ] ESITIEDOT:  määrätty integraali KATSO MYÖS:  integroimistekniikkaa,  pinta-aloja ja tilavuuksia

Kansisivu  Sisältö  Hakemisto

Jos funktio f saa välillä [a, b] vain ei-negatiivisia arvoja, so. f(x) > 0, kun x [a, b], voidaan kuvaajan y = f(x), x-akselin ja suorien x = a, x = b rajaaman alueen pinta-ala laskea suoraan integraalista f(x) dx.

Jos välillä [a, b] on f(x) < 0, antaa integraali vastaavan pinta-alan negatiivisena.

Jos funktio vaihtaa merkkiään välillä [a, b], ottaa integraali x-akselin ylä- ja alapuolella olevien alueiden alat huomioon positiivisina ja negatiivisina kuvan osoittamalla tavalla. Jos kaikkien osa-alueiden alat halutaan positiivisina, on väli [a, b] jaettava osiin funktion f nollakohdissa, laskettava erikseen integraali jokaisen osavälin yli ja tuloksia yhteenlaskettaessa otettava osaintegraalien merkit huomioon.

Usein on yksinkertaisinta ajatella, että laskettava ala jaetaan kapeisiin pystysuoriin suorakulmioihin ja summeerataan näiden pinta-alat positiivisina. Tällöin saadaan Riemannin summa, joka jakoa tihennettäessä, so. suorakulmioita kavennettaessa johtaa määrättyyn integraaliin. Tämä ajattelu toimii myös, kun laskettavana on kahden käyrän väliin jäävä ala.

funktio (reaali-)  väli (reaaliakselin)  kuvaaja  pinta-ala  määrätty integraali  Riemannin summa  käyrä (taso-)

Kivelä, niinkuin matematiikka, versio 1.12