Sisällön pääryhmät Pinta-aloja ja tilavuuksia Pinta-aloja ja tilavuuksia [ 1 2 3 4 ] ESITIEDOT:  monikulmiot,  ympyrä,  toisen asteen käyrät,  pallo,  kartio ja lieriö,  toisen asteen pinnat KATSO MYÖS:  pinta-alojen ja tilavuuksien laskeminen

Kansisivu  Sisältö  Hakemisto

Tasokuvioiden pinta-alojen sekä avaruuskappaleiden tilavuuksien ja pinta-alojen laskeminen perustuu suoraviivaisten kuvioiden tai kappaleiden tapauksessa yleensä alkeisgeometrisiin päättelyihin. Käyrien viivojen ja pintojen rajoittamat alat ja tilavuudet lasketaan yleensä integroimalla.

Käyrän kaarenpituuden, tasokuvion alan, avaruuspinnan alan ja kappaleen tilavuuden käsitteet eivät ole aivan yksinkertaisesti määriteltävissä. Määritelmät perustuvat seuraaviin ideoihin:

• Käyrän kaarenpituuden määrittelyssä lähtökohtana on, että janan pituus osataan määrittää. Kaarenpituutta approksimoidaan sijoittamalla käyrälle peräkkäisiä jakopisteitä ja yhdistämällä nämä murtoviivaksi. Tämän pituus voidaan laskea summeeraamalla osajanojen pituudet. Jos murtoviivan pituudella on raja-arvo jakopisteistöä tihennettäessä, se määritellään kaarenpituudeksi.
• Tasokuvion pinta-alan määrittelyn lähtökohtana on, että suorakulmion ala on erisuuntaisten sivujen pituuksien tulo. Kuvion sisään asetetaan suorakulmioita, jotka eivät peitä toisiaan, ja lasketaan näiden yhteinen pinta-ala. Pienin mahdollinen yläraja tällaisten suorakulmiojoukkojen yhteispinta-alalle on tasokuvion pinta-alan sisäapproksimaatio. Samalla tavoin kuvio voidaan peittää suorakulmioilla, jotka eivät peitä toisiaan, ja laskea näiden yhteinen pinta-ala. Suurin alaraja kuviota peittävien suorakulmiojoukkojen pinta-aloille on tasokuvion pinta-alan ulkoapproksimaatio. Jos sisä- ja ulkoapproksimaatio ovat yhtä suuret, yhteistä arvoa kutsutaan kuvion alaksi.
• Avaruuskappaleen tilavuus määritellään samaan tapaan kuin tasokuvion pinta-ala, mutta suorakulmioiden sijasta käytetään suorakulmaisia särmiöitä. Tällaisen särmiön tilavuus on samasta kärjestä lähtevien sivujen pituuksien tulo.
• Avaruudessa olevan pinnan ala voidaan määritellä asettamalla pinnalle jakopisteitä ja yhdistämällä nämä kolmioverkoksi. Jokainen kolmio on tasokuvio ja sen pinta-ala voidaan laskea. Kolmioverkon yhteispinta-ala on approksimaatio avaruuspinnan alalle. Jos jakopisteistöä tihennettäessä yhteispinta-alalla on raja-arvo, tätä kutsutaan avaruuspinnan alaksi.

pinta-ala (integroimalla)  tilavuus (integroimalla)  käyrä (taso-)  käyrä (avaruus-)  pinta  jana  etäisyys (pisteiden)  raja-arvo (lukujonon)  suorakulmio  suorakulmio (ala)  pienin yläraja  suurin alaraja  särmiö (suorakulmainen)  kolmio

Kivelä, niinkuin matematiikka, versio 1.12