Sisällön pääryhmät Integraali Pinta-alojen ja tilavuuksien laskeminen [ 1 2 3 4 5 6 ] ESITIEDOT:  määrätty integraali KATSO MYÖS:  integroimistekniikkaa,  pinta-aloja ja tilavuuksia

Kansisivu  Sisältö  Hakemisto

Pallopinta syntyy ympyränkaaren y = f(x) = pyörähtäessä x-akselin ympäri välillä [-R, R]. Koska

f'(x) = -,

saadaan pyörähdyspinnan alaksi

2 dx = 2R dx = 4R².

Myös pallon tilavuus voidaan laskea sen pinta-alan perusteella. Pallo jaetaan tällöin samankeskisiksi pallokuoriksi, joiden paksuus on r_j. Kuoren tilavuus on tällöin likimain 4rr_j, jolloin pallon tilavuutta approksimoi Riemannin summa 4rr_j. Pallon tilavuus saadaan siis integraalista:

4r² dr = R³.

Lasku on samanlainen kuin ympyrän alan laskeminen kehän pituuden perusteella. Ei siis myöskään ole sattuma, että pallon pinta-ala on tilavuuden derivaatta!

pallo  pallo (tilavuus)  pallo (ala)  tilavuus  Riemannin summa  määrätty integraali  ympyrän ala (integroimalla)  ympyrän ala (integroimalla)

Kivelä, niinkuin matematiikka, versio 1.12