[#] Sisällön pääryhmät --> Integraali --> Pinta-alojen ja tilavuuksien laskeminen [ 1 2 3 4 5 6 ]
ESITIEDOT: [#] määrätty integraali
KATSO MYÖS: [#] integroimistekniikkaa, [#] pinta-aloja ja tilavuuksia
[#] Kansisivu
[#] Sisältö
[#] Hakemisto


Esimerkki pinta-alan laskemisesta

Olkoon laskettavana sen segmentin ala, joka jää paraabelin y = ax2 ja suoran y = kx + b väliin. Tällöin oletetaan, että vakiot a, k ja b ovat siten valitut, että suora todella on paraabelin sekantti; oletetaan lisäksi, että paraabeli aukeaa ylöspäin, ts. a > 0.

Ratkaisemalla yhtälöryhmä

{         2
   y = ax
   y = kx +  b

saadaan paraabelin ja suoran leikkauspisteiden x-koordinaateiksi

x1 = k -  V~ k2-+-4ab-
---------------
      2a, x2 = k +  V~ k2-+-4ab-
---------------
      2a.

Tässä x1 < x2.

Koska segmentti sijaitsee välillä [x1, x2] ja tällä välillä suora on paraabelia ylempänä, on kohdassa x = vj sijaitsevan suorakulmion korkeus kvj + b - av2j ja kanta Dxj, mikä johtaa alaa approksimoivaan Riemannin summaan  sum n
   j=1(kvj + b - av2
j)Dxj. Jakoa tihennettäessä tämä lähestyy integraalia

 integral 
  x2

 x1(kx + b - ax2) dx.

Integraalin laskeminen antaa pinta-alaksi

(k2 + 4ab)3/2
-------2-----
    6a.

Tulos on pätevä myös, jos a < 0. Riemannin summassa tosin suorakulmion korkeus kvj + b - av2j on tällöin negatiivinen, mutta tästä aiheutuva merkkivirhe kumoutuu siinä, että rajojen x1 ja x2 suuruusjärjestys muuttuu päinvastaiseksi, kun a < 0.

  [#] segmentti
[#] paraabeli (xy-koordinaateissa)
[#] suora (yhtälö)
[#] sekantti (suora)
[#] yhtälöryhmä
[#] väli (reaaliakselin)
[#] Riemannin summa
[#] määrätty integraali
[#] integrointi (kaavat)
[#] integrointi (kaavat)
[#] integrointi (sijoitus)
[#] integrointi (osittais-)

Kivelä, M niinkuin matematiikka, versio 1.12