[#] Sisällön pääryhmät --> Integraali --> Pinta-alojen ja tilavuuksien laskeminen [ 1 2 3 4 5 6 ]
ESITIEDOT: [#] määrätty integraali
KATSO MYÖS: [#] integroimistekniikkaa, [#] pinta-aloja ja tilavuuksia
[#] Kansisivu
[#] Sisältö
[#] Hakemisto

Pyörähdyspinnan ala

Pyörähtäköön käyrä y = f(x), x1 < x < x2, x-akselin ympäri, jolloin syntyy pyörähdyspinta. Tämän pinta-ala voidaan laskea jakamalla pinta ympyränmuotoisiin suikaleisiin x-akselia vastaan kohtisuorilla tasoilla. Jokainen suikale on likimain katkaistu kartio. Tämän ala on p(r1 + r2)s, missä r1 ja r2 ovat ala- ja yläpohjan säteet sekä s sivujanan pituus.

Jos leikkaustasot sijaitsevat kohdissa x = xj, ovat pohjien säteet f(xj-1) ja f(xj). Sivujanan pituus on Pythagoraan mukaan

V~ --------------------------------- (xj - xj-1)2 + (f(xj)- f(xj-1))2
  ~~ V~ ----------------------------------- (xj - xj- 1)2 + f'(xj-1)2(xj- xj- 1)2 = V~ ------------- 1 + f'(xj- 1)2Dxj,

missä on käytetty differentiaalikehitelmää ja merkintää Dxj = xj - xj-1. Summeeraamalla suikaleiden pinta-alat saadaan

sum n j=1p(f(xj-1) + f(xj)) V~ ------------- 1 + f'(x )2 j- 1Dxj.

Tämä ei ole Riemannin summa (koska funktioiden arvoja on laskettu sekä pisteessä xj-1 että pisteessä xj), mutta voidaan kuitenkin osoittaa, että jakoa tihennettäessä päädytään integraaliin

integral x2 x12pf(x) V~ ---------- 1 + f '(x)2 dx,

joka siis esittää pyörähdyspinnan alaa.

  [#] käyrä (taso-)
 [#] pinta
 [#] pinta-ala
 [#] kartio (katkaistu)
 [#] pinta-ala (pintojen)
 [#] pinta-ala (pintojen)
 [#] pohja (katkaistun kartion)
 [#] sivujana (kartion)
 [#] Pythagoraan lause
 [#] differentiaalikehitelmä
 [#] Riemannin summa
 [#] määrätty integraali

Kivelä, M niinkuin matematiikka, versio 1.12