Sisällön pääryhmät Integraali Määrätty integraali [ 1 2 3 4 5 6 7 8 ] ESITIEDOT:  summa ja tulo,  integraalifunktio KATSO MYÖS:  integroimistekniikkaa

Kansisivu  Sisältö  Hakemisto

R-säteisen ympyrän voidaan katsoa muodostuvan samankeskisistä ympyrärenkaista. Jos ympyrärengas, jonka sisäsäde on r_k-1 ja ulkosäde r_k, leikataan poikki ja taivutetaan sisäreunaa sopivasti venyttäen ja ulkoreunaa sopivasti kuroen suoraksi nauhaksi, saadaan suorakulmio, jonka pinta-ala on täsmälleen sama kuin ympyrärenkaan pinta-ala. Suorakulmion leveys on tällöin r_k = r_k - r_k-1 ja pituus 2v_k, missä säde v_k on valittu sopivasta kohdasta: r_k-1 < v_k < r_k.

Ympyrän ala on tällöin suorakulmioiden alojen summa: 2v_kr_k. Tämä on Riemannin summa, joka jakoa tihennettäessä, so. jaettaessa ympyrä yhä useampiin ja yhä kapeampiin ympyrärenkaisiin, lähenee integraalia

2r dr = r² = R².

Ei siis ole sattuma, että ympyrän pinta-alan derivaatta on sen kehän pituus!

ympyrä (esimerkki)  ympyrä  ympyrä (ala)

Kivelä, niinkuin matematiikka, versio 1.12