[#] Sisällön pääryhmät --> Integraali --> Määrätty integraali [ 1 2 3 4 5 6 7 8 ]
ESITIEDOT: [#] summa ja tulo, [#] integraalifunktio
KATSO MYÖS: [#] integroimistekniikkaa
[#] Kansisivu
[#] Sisältö
[#] Hakemisto


Esimerkki 2 Riemannin summasta

Olkoon funktio f jatkuva ja > 0 suljetulla välillä [a, b]. Kuvaajan y = f(x) ja x-akselin väliin jäävän alueen pinta-alaa voidaan approksimoida seuraavalla tavalla:

Jaetaan väli [a, b] osaväleihin pisteissä xk, missä a = x0 < x1 < x2 < ... < xn = b. Muodostetaan suorakulmiot, joiden kantana on x-akselin osaväli [xk-1, xk] (pituudeltaan Dxk) ja korkeus määräytyy funktion osavälillä saamien arvojen mukaan: f(vk), missä vk  (- [xk-1, xk]. Alaa approksimoi tällöin suorakulmioiden pinta-alojen summa

 sum n

k=1f(vk)Dxk.

Tämä on muodoltaan jälleen Riemannin summa.

Mitä tiheämpi välin [a, b] jako on, sitä tarkemmin suorakulmiot antavat etsityn pinta-alan ja toisaalta sitä lähempänä Riemannin summa on vastaavaa integraalia. Ala on siis sama kuin integraali

 integral  b

 af(x) dx.

Edellä sanottu pätee vain, mikäli f(x) > 0 tarkasteluvälillä. Jos f saa negatiivisia arvoja, tulee vastaavan alueen pinta-ala otetuksi huomioon negatiivisena Riemannin summassa ja myös integraalissa.

  [#] funktio (reaali-)
[#] jatkuvuus
[#] suljettu väli
[#] kuvaaja
[#] pinta-ala

Kivelä, M niinkuin matematiikka, versio 1.12