[#] Sisällön pääryhmät --> Lukujonon ja funktion raja-arvo --> Sarjat [ 1 2 3 4 ]
ESITIEDOT: [#] summa ja tulo, [#] lukujonot, [#] lukujonon raja-arvo
KATSO MYÖS: [#] Neperin luku e, [#] luku p
[#] Kansisivu
[#] Sisältö
[#] Hakemisto

Esimerkki 2 sarjoista

Sarjaa

oo sum k=11- k

kutsutaan harmoniseksi sarjaksi. Sen osasummalle sn ei voida esittää lauseketta, mutta sarja voidaan päätellä hajaantuvaksi seuraavalla tavalla.

Koska kaikki harmonisen sarjan termit ovat positiivisia, on osasummien jono kasvava: s1 < s2 < s3 < s4 < .... Osasummalle, jonka indeksi on n = 2p, pätee seuraava:

s2p = 1 + 1- 2 + 1- 3 + 1- 4 + 1- 5 + ... + 1-- 2p
= 1 + 1- 2 + 1-+ 1- 3 -4 + 1-+ 1-+ 1-+ 1- 5---6-- -7---8
   + 1-+ 1--+ -1-+ 1--+ -1-+ -1-+ -1-+ -1- 9----10---11----12- 13---14----15---16 +... .

Pienennetään tässä esityksessä jokaisen termiryhmän termejä siten, että ne korvataan ryhmän viimeisellä termillä. Koska ryhmissä on termejä jonkin kakkosen potenssin osoittama määrä, päädytään seuraavaan:

s2p > 1 + 1- 2 + 2 . 1- 4 + 4 . 1- 8 + 8 . 1-- 16 + ... + 2p-1 . 1-- 2p = 1 + p- 2.

Antamalla p --> oo saadaan

limp--> oo s2p > limp--> oo ( p) 1 + 2 = oo .

Sarja siis ilmeisestikin hajaantuu.

Huomattakoon, että harmonisen sarjan termit lähestyvät nollaa, ts.

limk--> oo 1 -- k = 0,

mutta siitä huolimatta sarja hajaantuu.

Esimerkki osoittaa, että sarjojen suppenemisen tutkiminen ja niiden summien määrittäminen ei ole aivan yksinkertaista.

  [#] raja-arvo (lukujonon)

Kivelä, M niinkuin matematiikka, versio 1.12