Sisällön pääryhmät Todennäköisyys Todennäköisyyslaskenta [ 1 2 3 4 5 6 7 ] ESITIEDOT:  joukko-oppi,  lukumäärän laskeminen,  funktiokäsite KATSO MYÖS:  tilastomatematiikka,  todennäköisyysjakaumat

Kansisivu  Sisältö  Hakemisto

Todennäköisyyslaskennassa tarkastelun kohteena ovat satunnaisilmiöt. Esimerkkejä tällaisista ovat tavallisen kuusitahkoisen nopan heitto ja vaikkapa tikan heitto tauluun.

Kaikki ilmiön mahdolliset tulokset muodostavat joukon , jota kutsutaan otosavaruudeksi. Nopan tapauksessa tämä on joukko {1, 2, 3, 4, 5, 6} vastaten heiton tuloksena saatavia silmälukuja. Tikanheitossa tulokset ovat sopivassa koordinaatistossa ilmoitettuja koordinaattipareja (x, y), jotka ilmaisevat, mihin pisteeseen tikka osuu. Luontevaa on valita tikkataulun keskipiste origoksi ja yksiköksi senttimetri. Otosavaruudeksi voidaan tällöin ottaa xy-taso, vaikka kaikki sen pisteet eivät varmasti olekaan mahdollisia heittotuloksia.

Otosavaruuden alkioita kutsutaan alkeistapauksiksi.

Tapahtumalla tarkoitetaan otosavaruuden osajoukkoa. Nopanheitossa se voi olla esimerkiksi tulos ’vähintään 3’, ts. joukko {3, 4, 5, 6}; tikanheitossa ’alle 5 senttimetrin päähän keskipisteestä’ eli {(x, y) | x² + y² < 25}.

Jokaiseen tapahtumaan liitetään todennäköisyys P , so. funktio, jonka argumentteina ovat em. osajoukot. Tällä tulee olla seuraavat ominaisuudet:

• 0 < P (A) < 1, olipa A mikä tahansa tapahtuma.
• P () = 1 eli ns. varman tapahtuman todennäköisyys on = 1.
• P (A B) = P (A) + P (B), jos A B = Ø, ts. jos A ja B ovat erillisiä.

Eo. ominaisuuksien seurauksena on mm. komplementtitapahtuman = \ A todennäköisyyttä koskeva sääntö: Koska P (A) + P ( ) = P (A ) = P () = 1, on P ( ) = 1 - P (A). (Todennäköisyyslaskennassa käytetään yleensä merkintää joukko-opillisen komplementin merkinnän A sijasta.)

Eo. ominaisuudet eivät määrää funktiota P , vaan ainoastaan asettavat sille tietyt järkevyysvaatimukset. Funktion määrittäminen kussakin yksityistapauksessa edellyttää jotakin lisätietoa ilmiöstä.

Hieman täsmällisempään muotoon kirjoitettuina funktiolta P vaadittavia ominaisuuksia kutsutaan Kolmogorovin aksioomiksi todennäköisyyslaskennan perusteita tutkineen neuvostoliittolaisen matemaatikon Andrei Nikolajevitš Kolmogorovin (1903 – 1987) mukaan.

joukko  osajoukko  funktio  unioni  leikkaus  komplementti (joukon)  aksiooma  aksiooma  Kolmogorov

Kivelä, niinkuin matematiikka, versio 1.12