[#] Sisällön pääryhmät --> Lukujonon ja funktion raja-arvo --> Lukujonon raja-arvo [ 1 2 3 4 5 6 7 ]
ESITIEDOT: [#] lukujonot
KATSO MYÖS: [#] funktion raja-arvo, [#] Neperin luku e
[#] Kansisivu
[#] Sisältö
[#] Hakemisto

Lukujonojen standardiraja-arvoja

Seuraavat raja-arvot voidaan todistaa määritelmään perustuen. Todistukset eivät kuitenkaan ole aivan lyhyitä. Vrt. vastaaviin funktioiden standardiraja-arvoihin.

limn--> oo an = { 0, jos 0 < a < 1; 1, jos a = 1; oo , jos a > 1;
 
limn--> oo n V~ -- a = 1, missä a > 0;
 
limn--> oo n V~ -- n = 1;
 
limn--> oo ( ) -1 1 + nn = e;
 
limn--> oo ( x-) 1 + nn = ex.

Esimerkkinä pyöristysvirheiden numeerisessa laskennassa aiheuttamista ongelmista ovat seuraavat edellä esitetystä jonosta lasketut Neperin luvun likiarvot:

n = 10, an = 2.59374246;
  
n = 104, an = 2.71814592;
  
n = 107, an = 2.71828169;
  
n = 1010, an = 2.71828205;
  
n = 1013, an = 2.71611003;
  
n = 1016, an = 1.00000000.

Oikea arvo on e = 2.71828183..., joten edellä olevassa listassa likiarvot ensin paranevat ja sitten huononevat, kunnes lopulta päädytään täysin vääriin arvoihin. Selitys on käytetyssä laskentatarkkuudessa, joka on noin 2 . 10-16. Kun n > 1016, pyöristyy luku 1 + 1/n luvuksi 1, jonka mikä tahansa potenssi on = 1. Kuudentoista numeron laskentatarkkuuskaan ei siis riitä kovin hyvien likiarvojen laskemiseen Neperin luvulle.

  [#] raja-arvo (standardi-, funktion)
 [#] Neperin luku

Kivelä, M niinkuin matematiikka, versio 1.12