Sisällön pääryhmät Integraali Integraalifunktio [ 1 2 3 4 ] ESITIEDOT:  derivaatta,  derivointisäännöt,  alkeisfunktioiden derivaatat KATSO MYÖS:  määrätty integraali,  integroimistekniikkaa

Kansisivu  Sisältö  Hakemisto

Koska integraalifunktio on derivoituva, se on myös jatkuva. Tähän ominaisuuteen on kiinnitettävä erityistä huomiota seuraavantyyppisissä tilanteissa.

Yhdistetyn funktion derivoimissääntöä käyttäen voidaan todeta, että funktion arctan(1/x) derivaatta on f(x) = -1/(1 + x²). Funktio arctan(1/x) ei kuitenkaan kelpaa integraalifunktioksi, koska se ei ole jatkuva origossa:

lim_x0+ arctan(1/x) = , lim_x0- arctan(1/x) = -.

Määritelläänpä arvo origossa siis miten tahansa, funktiosta ei saada jatkuvaa.

Funktio

F (x) =

sen sijaan on origossa jatkuva ja myös derivoituva; erotusosamäärän raja-arvoa tarkastelemalla nähdään derivaataksi F '(0) = -1 = f(0). Funktion f(x) = -1/(1 + x²) kaikki integraalifunktiot ovat siten esitettävissä muodossa F (x) + C.

Jos toisaalta integroitavan funktion määrittelyalue jakautuu kahteen (tai useampaan) osaan esimerkiksi siten, että funktio ei jossakin pisteessä ole määritelty, voidaan integraalifunktio muodostaa kussakin osa-alueessa muista täysin riippumattomasti.

Esimerkiksi origo jakaa funktion f(x) = 1/x määritelyalueen kahteen osaan. Integraalifunktioksi voidaan tällöin aivan hyvin valita

F (x) =

derivoituvuus  jatkuvuus  derivaatta (yhdistetyn funktion)  arcus-funktio  derivaatta  raja-arvo (toispuolinen)  erotusosamäärä  raja-arvo (funktion)

Kivelä, niinkuin matematiikka, versio 1.12