[#] Sisällön pääryhmät --> Lukujonon ja funktion raja-arvo --> Lukujonon raja-arvo [ 1 2 3 4 5 6 7 ]
ESITIEDOT: [#] lukujonot
KATSO MYÖS: [#] funktion raja-arvo, [#] Neperin luku e
[#] Kansisivu
[#] Sisältö
[#] Hakemisto


Lukujonon raja-arvon laskeminen

Raja-arvojen laskeminen pohjautuu määritelmän perusteella ’itsestään selviin’ tuloksiin sekä summan, erotuksen, tulon ja osamäärän raja-arvoa koskeviin lauseisiin. Lisäksi on syytä tuntea eräitä ’standardiraja-arvoja’ (käsittely edempänä), jotka voidaan perustella suoraan määritelmän avulla, vaikkakaan ei aivan yksinkertaisesti.

Itsestään selviä, oikeastaan suoraan määritelmiin palautuvia tuloksia ovat ennen muuta

limn--> oo 1-
n = 0 ja limn--> oo n =  oo .

Tietty varovaisuus ’itsestään selvyydessä’ on kuitenkin paikallaan. Erityisesti on huomattava, että jos lauseke näyttäisi rajaprosessissa saavan muodon 0/0,  oo / oo , 0 .  oo ,  oo -  oo tai 1 oo , sen raja-arvosta ei tämän perusteella voida päätellä mitään. Varsinkin viimeiseksi mainittu on syytä huomata: Esimerkiksi Neperin luku e = 2.718... saadaan raja-arvona limn--> oo (1 + 1/n)n, mikä muodollisesti laskien antaa 1 oo ja siis johtaa kiusaukseen päätellä raja-arvoksi 1.

Raja-arvon laskemisen suhtautuminen laskutoimituksiin ilmenee seuraavista kaavoista, joissa oletetaan, että raja-arvot limn--> oo an ja limn--> oo bn ovat olemassa:

limn--> oo (an ± bn) = limn--> oo an ± limn--> oo bn;
 
limn--> oo (can) = c limn--> oo an (c vakio);
 
limn--> oo (anbn) = limn--> oo an .  limn--> oo bn;
 
limn--> oo an
b--
 n = limn -->o o  an
lim-----b--
   n-->o o  n.

Osamäärää koskevassa kaavassa tulee luonnollisesti nimittäjien olla /=0.

  [#] raja-arvo (standardi-, lukujonon)
[#] Neperin luku

Kivelä, M niinkuin matematiikka, versio 1.12