Sisällön pääryhmät Lukujonon ja funktion raja-arvo Lukujonon raja-arvo [ 1 2 3 4 5 6 7 ] ESITIEDOT:  lukujonot KATSO MYÖS:  funktion raja-arvo,  Neperin luku e

Kansisivu  Sisältö  Hakemisto

Raja-arvojen laskeminen pohjautuu määritelmän perusteella ’itsestään selviin’ tuloksiin sekä summan, erotuksen, tulon ja osamäärän raja-arvoa koskeviin lauseisiin. Lisäksi on syytä tuntea eräitä ’standardiraja-arvoja’ (käsittely edempänä), jotka voidaan perustella suoraan määritelmän avulla, vaikkakaan ei aivan yksinkertaisesti.

Itsestään selviä, oikeastaan suoraan määritelmiin palautuvia tuloksia ovat ennen muuta

lim_n = 0 ja lim_nn = .

Tietty varovaisuus ’itsestään selvyydessä’ on kuitenkin paikallaan. Erityisesti on huomattava, että jos lauseke näyttäisi rajaprosessissa saavan muodon 0/0, /, 0 ^. , - tai 1, sen raja-arvosta ei tämän perusteella voida päätellä mitään. Varsinkin viimeiseksi mainittu on syytä huomata: Esimerkiksi Neperin luku e = 2.718... saadaan raja-arvona lim_n(1 + 1/n)ⁿ, mikä muodollisesti laskien antaa 1 ja siis johtaa kiusaukseen päätellä raja-arvoksi 1.

Raja-arvon laskemisen suhtautuminen laskutoimituksiin ilmenee seuraavista kaavoista, joissa oletetaan, että raja-arvot lim_na_n ja lim_nb_n ovat olemassa:

limn(an ± bn) = limnan ± limnbn;

limn(can) = c limnan (c vakio);

limn(anbn) = limnan .  limnbn;

limn = .

Osamäärää koskevassa kaavassa tulee luonnollisesti nimittäjien olla 0.

raja-arvo (standardi-, lukujonon)  Neperin luku

Kivelä, niinkuin matematiikka, versio 1.12