[#] Sisällön pääryhmät --> Lukujonon ja funktion raja-arvo --> Lukujonon raja-arvo [ 1 2 3 4 5 6 7 ]
ESITIEDOT: [#] lukujonot
KATSO MYÖS: [#] funktion raja-arvo, [#] Neperin luku e
[#] Kansisivu
[#] Sisältö
[#] Hakemisto

Esimerkkejä lukujonojen raja-arvoista

1) Tyypillinen esimerkki eo. kaavojen käytöstä on seuraava lasku, missä on itse asiassa käytetty jokaista kaavaa ja palautettu näiden avulla raja-arvon laskeminen yksittäisten termien raja-arvoihin ja lopulta ’itsestään selvyyteen’ limn--> oo 1/n = 0:

2n2 + 1 ------------- 3n2 + 4n + 7 = 2 + 1- -----4-n27- 3 + n + n2 ---> n--> oo 2 -- 3.

2) Toisinaan on lauseke kirjoitettava sopivaan uuteen muotoon raja-arvon määrittämiseksi. Koska lauseke V~ ------- n2 + n - V~ ------- n2 + 1 saa muodon oo - oo , kun n --> oo , ei raja-arvosta voida suoraan päätellä mitään. Laventaminen lausekkeella V~ -2----- n + n + V~ -2----- n + 1 johtaa kuitenkin tulokseen:

V~ ------- n2 + n - V~ ------- n2 + 1 = (n2 + n) - (n2 + 1) V~ --------- V~ ------- n2 + n + n2 + 1 = 1 - 1 V~ ---------n V~ -------- 1 + 1 + 1 + -12 n n ---> n--> oo 1 -- 2.

Oikeastaan tässä on myös käytetty neliöjuurifunktion jatkuvuutta. (Missä kohdassa?)

Raja-arvoja voi luonnollisesti tutkia myös laskemalla numeerisesti jonon lukuja. Tällä tavoin voi usein selvittää ainakin sen, mikä luku raja-arvo ei ainakaan ole. Tiettyä varovaisuutta on kuitenkin noudatettava, koska numeerisessa laskennassa aina tapahtuvat pyöristysvirheet voivat aiheuttaa katastrofaalisesti vääriä tuloksia. Ks. esimerkkiä Neperin luvusta edempänä.

  [#] laventaminen
 [#] neliöjuurifunktio
 [#] jatkuvuus
 [#] Neperin luku (numeerisesti)

Kivelä, M niinkuin matematiikka, versio 1.12