[#] Sisällön pääryhmät --> Geometriset probleemat --> Vektorigeometriaa [ 1 2 3 ]
ESITIEDOT: [#] vektori, [#] vektorialgebra, [#] koordinaatistot, [#] piste, [#] suora, [#] taso
KATSO MYÖS: [#] geometriset probleemat, [#] kolmio, [#] kulma, [#] ympyrä
[#] Kansisivu
[#] Sisältö
[#] Hakemisto


Esimerkki 3 vektorigeometriasta

Vesipisara putoaa tasolle x + 2y + 3z = 4 pisteeseen (-3, -1, 3) ja alkaa valua tasoa pitkin. Missä pisteessä se kohtaa xy-tason? Oletetaan tavanomaiseen tapaan, että z-akseli on pystysuora ja osoittaa ylöspäin, jolloin painovoima vaikuttaa negatiivisen z-akselin suuntaan.

Merkitään putoamispisteen paikkavektoria p = -3i - j + 3k.

Tason normaalivektori on n = i + 2j + 3k. Koska z-akselin suuntainen kantavektori k on pystysuora, saadaan ristitulon avulla vaakasuora tason suuntainen vektori s = k × n = -2i + j .

Pisaran valumissuunta on kohtisuorassa tason normaalivektoria vastaan ja toisaalta se on mahdollisimman jyrkkä, jolloin sen tulee olla kohtisuorassa myös edellä muodostettua vektoria s vastaan. Valumissuunta — tai mahdollisesti vastakkainen suunta — sadaan ristitulosta

v = s × n = 3i + 6j - 5k.

Tämä on todellakin valumissuunta, koska k-komponentti on negatiivinen; ristitulo n × s olisi antanut vastakkaisen suunnan.

Paikkavektori, joka osoittaa origosta siihen pisteeseen, missä pisara kohtaa xy-tason, on siis muotoa

p + av = (-3 + 3a)i + (-1 + 6a)j + (3 - 5a)k.

Koska piste sijaitsee xy-tasossa, tulee olla 3 - 5a = 0 eli a = 3
5. Pisteen x- ja y-koordinaatti ovat tällöin

x = -3 + 3a = -65, y = -1 + 6a = 153.

  [#] taso (yhtälö)
[#] koordinaatisto (xyz-)
[#] paikkavektori
[#] normaalivektori (tason)
[#] kantavektori
[#] ristitulo
[#] vektoritulo
[#] vektoritulon laskeminen

Kivelä, M niinkuin matematiikka, versio 1.12