Sisällön pääryhmät Derivaatta Alkeisfunktioiden derivaatat [ 1 2 3 ] ESITIEDOT:  derivaatta,  derivointisäännöt KATSO MYÖS:  potenssi,  eksponenttifunktio,  logaritmifunktio,  trigonometriset funktiot,  arcus-funktiot,  hyperbelifunktiot,  area-funktiot,  integraalifunktio

Kansisivu  Sisältö  Hakemisto

Edellä olevien derivaattojen johtaminen perustuu derivaatan määritelmään erotusosamäärän raja-arvona, funktioiden standardiraja-arvoihin, osamäärän derivointisääntöön sekä käänteisfunktion derivoimissääntöön. Suoraan erotusosamäärän raja-arvona ja eräiden standardiraja-arvojen avulla saadaan eksponenttifunktion ja sinifunktion derivaatat:

limh0 = limh0ex  = ex;

limh0 = limh0 cos = cos x.

Jälkimmäisessä on käytetty myös sopivaa trigonometrian kaavaa.

Potenssin derivoimiskaava yleisessä tapauksessa, so. eksponentin ollessa mikä tahansa reaaliluku, saadaan helpoimmin eksponenttifunktion avulla:

x = e ^{ln x} = e ^{ln x} = x^-1.

Jos on kokonaisluku tai rationaaliluku, on muitakin tapoja kaavan johtamiseen.

Kosinifunktion derivaatta saadaan palautetuksi edellä johdettuun sinifunktion derivaattaan kirjoittamalla cos x = sin( + x). Hyperbelisinin ja hyperbelikosinin derivaatat voidaan laskea lausumalla funktiot eksponenttifunktion avulla.

Tangentin ja kotangentin sekä vastaavien hypebolisten funktioiden derivaatat lasketaan lausumalla funktiot sinin ja kosinin, vastaavasti hyperbelisinin ja hyperbelikosinin avulla ja käyttämällä osamäärän derivoimiskaavaa. Vaihtoehtoisten muotojen johtamisessa tarvitaan trigonometrian kaavaa 1 = cos²x + sin²x ja tämän hyperbolista vastinetta 1 = cosh²x - sinh²x.

derivaatta  erotusosamäärä  raja-arvo (funktion)  raja-arvo (standardi-, funktion)  derivaatta (osamäärän)  derivaatta (käänteisfunktion)  eksponenttifunktio  sini  trigonometria (johdannaiskaavat)  potenssifunktio  kosini  trigonometrinen funktio (symmetria)  hyperbelifunktio  trigonometrinen funktio (yleinen määritelmä)  trigonometria (peruskaavat)  hyperbolinen kaava

Kivelä, niinkuin matematiikka, versio 1.12